在解开了42个“求和方”之谜之后，数学家解决了困扰数十年专家的更艰巨的问题

解决这个已有数十年历史的问题的21位数字表示存在更多的解决方案。

在解决了生命，宇宙和一切的答案之后，您会怎么做？如果您是数学家德鲁·萨瑟兰（Drew Sutherland）和安迪·布克（Andy Booker），那么您会遇到更棘手的问题。

2019年，布里斯托大学的Booker和MIT的首席研究科学家Sutherland率先找到了42的答案。正如道格拉斯·亚当斯（Douglas Adams）在他的小说《漫游旅行者的银河指南》中写道的那样，该数字具有流行文化意义，是对“生命，宇宙和万物的终极问题”的虚构回答。至少在小说中，引发42岁的问题是令人沮丧，滑稽的未知。

完全是巧合的是，在数学中，存在一个多项式方程，对于这个方程，答案42数十年来一直是类似的数学家。方程x3 + y3 + z3 = k被称为立方体和问题。虽然看似简单，但是当将该方程式构造为“ Diophantine方程式”时，它变得难以指数求解，这一问题规定，对于k的任何值，x，y和z的值都必须为整数。

当以这种方式构造立方和方程时，对于某些k值，x，y和z的整数解可以增长到极大数量。数学家必须为这些数字搜索的数字空间仍然更大，需要复杂而庞大的计算。

多年来，对于k介于1和100之间的每个k值（42除外），数学家通过各种方法设法解决了该方程，要么找到一个解决方案，要么确定一个解决方案一定不存在。

2019年9月，研究人员首次利用全球50万台家用计算机的综合功能，找到了42种解决方案。广泛报道的突破促使团队解决甚至更艰巨的问题，并且在某些方面更普遍：解决下一个针对3的解决方案。

在2019年9月，布克和萨瑟兰德（Sutherland）首次利用全球50万台家用计算机的综合功能，找到了42种解决方案。广泛报道的突破促使团队解决甚至更艰巨的问题，并且在某些方面更普遍：解决下一个针对3的解决方案。

Booker和Sutherland现在已经在《美国国家科学院院刊》上发布了针对42和3的解决方案，以及其他一些大于100的解决方案。

拿起手套

方程x3 + y3 + z3 = 3的前两个解决方案对于任何高中代数学生可能都是显而易见的，其中x，y和z可以为1、1，和1或4、4和-5。然而，寻找第三个解决方案已经困扰了数论专家数十年，而在1953年，这一难题促使开创性数学家路易斯·莫德尔（Louis Mordell）提出了一个问题：甚至有可能知道3的其他解决方案是否存在？

萨瑟兰说：“这有点像莫德尔扔下了手套。”“解决这个问题的兴趣不是针对特定的解决方案，而是为了更好地理解这些方程式的求解难度。这是我们可以衡量自己的基准。”

几十年来，没有针对3的新解决方案，许多人开始相信找不到任何解决方案。但是，在找到42种方法的答案之后，布克和萨瑟兰的方法很快就出现了，出乎意料的是，提出了下一个解决方案3：

5699368212219623807203 + (−569936821113563493509)3 + (−472715493453327032)3 = 3

这一发现直接回答了莫德尔的问题：是的，可以找到3的下一个解决方案，更重要的是，这里是该解决方案。也许更普遍地讲，该解决方案涉及到迄今为止不可能筛选出的巨大的21位数字，这表明存在更多的解，包括3个和其他k值。

萨瑟兰德说：“在数学和计算领域，人们一直存有严重的疑问，因为[默多尔的问题]很难测试。”“数字如此之快变得如此之大。除了前几个解决方案外，您将找不到更多的解决方案。但是，我能说的是，找到了这一解决方案后，我深信那里还有无限的更多选择。”

解决方案的转折

为了找到42和3的解决方案，研究小组从现有算法开始，或者将立方和方程式扭转为他们认为更易于解决的形式：

kz3 = x3 + y3− =（x + y）（x2xy + y2）−

这种方法最初是由数学家罗杰·希思·布朗（Roger Heath-Brown）提出的，他猜想对于每个合适的k，应该有无限多个解。该团队通过将x + y表示为单个参数d进一步修改了算法。然后，他们通过在两边都加上d并仅保留其余部分（在数学中称为“模d”的运算）来简化等式，从而简化了问题的表述。

Sutherland解释说：“您现在可以将k视为z的模根，以d为模。”“因此，想象在一个仅关心余数d的算术系统中工作，我们正在尝试计算k的立方根。”

有了这个更时尚的方程式，研究人员只需要寻找d和z的值即可保证找到对于k = 3的x，y和z的最终解。但是，他们必须搜索的数字空间将是无限大的。

因此，研究人员通过使用数学“筛分”技术极大地减少了d的可能解的空间，从而优化了算法。

Sutherland说：“这涉及一些相当先进的数论，使用我们对数域的了解的结构来避免寻找我们不需要看的地方。”

一项全球任务

该小组还开发了有效地将算法搜索划分为成千上万个并行处理流的方法。如果仅在一台计算机上运行该算法，则要花数百年的时间才能找到k = 3的解决方案。通过将工作分成数百万个较小的任务，每个任务独立运行在单独的计算机上，团队可以进一步加快搜索速度。

在2019年9月，研究人员通过Charity Engine实施了该计划，该项目可以由任何个人计算机免费下载为该项目，该项目旨在利用任何备用的家用计算能力共同解决难题。当时，Charity Engine的网格包括全球超过40万台计算机，而Booker和Sutherland能够在网络上运行其算法，以此作为对Charity Engine新软件平台的测试。

Sutherland说：“对于网络中的每台计算机，他们都会被告知'您的工作是寻找主因子在此范围内的d，但要受其他条件的限制。”“而且我们必须找出如何将这项工作分解为大约400万个任务的步骤，每个任务大约需要3个小时才能完成一台计算机。”

很快，全球网格将第一个解决方案返回到k = 42，仅两周后，研究人员证实他们找到了k = 3的第三个解决方案-他们在上面打印了等式，从而部分地标记了这一里程碑。 T恤。

存在针对k = 3的第三个解的事实表明，希思·布朗的原始猜想是正确的，而且除了这一最新解之外，还有无穷无尽的解。希思·布朗还预测，解决方案之间的空间会随着搜索的增长而成倍增长。例如，x，y和z的第四个解决方案可能会涉及第三个解决方案的21位数字值，而不是第三个解决方案的21位数字值。

Sutherland说：“每个新解决方案要做的工作量增加了1000万倍，因此，针对3个解决方案的下一个解决方案将需要1000万乘以40万台计算机来查找，并且无法保证这是足够的，” Sutherland说。“我不知道我们是否会知道第四个解决方案。但我确实相信它在那里。”

参考：安德鲁·R·布克和安德鲁·萨瑟兰德撰写的“关于莫德尔的问题”，2021年3月10日，美国国家科学院院刊。DOI：
10.1073 / pnas.2022377118

该研究得到了西蒙斯基金会的部分支持。

[编者注（2021年3月23日：由于允许使用负值，因此本文中对“整数”的引用已替换为“整数”。]